Minggu, 07 April 2019

LIMIT FUNGSI MATEMATIKA

Pengertian Limit Matematika
Limit Matematika adalah suatu konsep dalam ilmu matematik yang biasa digunakan untuk menjelaskan suatu sifat dari suatu fungsi, saat agumen telah mendekati pada suatu titik tak terhingga atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.
Limit biasa dipakai pada kalkulus dan cabang lainnya dari analisis matematika untuk mencari turunan dan lanjutan.
Pada pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah untuk dikerjakan.

Limit sebuah fungsi



Apabila  f(x) merupakan fungsi real dan c adalah bilangan real, maka bentuk rumusnya yaitu:

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

maka sama dengan f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c.
Pada contoh diatas, limit dari f(x) apabila x mendekati c, yaitu L. Perlu kita ingat, bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) {\displaystyle \neq } L. Bahkan, fungsi pada f(x) tidak perlu terdefinisikan lagi pada titik c. Berikut adalah kedua contoh dibawah ini yang menggambarkan sifat.
Sebagai contoh:
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} pada saat x mendekati nilai 2. Didalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik ke-2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4: 
f(1.9)f(1.99)f(1.999)f(2)f(2.001)f(2.01)f(2.1)
0.41210.40120.4001{\displaystyle \Rightarrow } 0.4{\displaystyle \Leftarrow }0.39980.39880.3882
Apabila semakin x mendekati 2, maka nilai f(x) mendekati 0.4, dan sebab itu {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4}.
Dalam kasus di mana {\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)}, f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh:
{\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if}}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{if}}x=2.\end{matrix}}\right.}
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 ialah 0.4 (sama seperti f(x), namun {\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)}: g tidak kontinyu pada titik x  =  2.
Atau bisa juga diambil contoh di mana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c: {\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}
Pada contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya sama tetap dengan 2, karena semakin x mendekati 1, maka f(x) semakin mendekati 2:
f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001)f(1.01)f(1.1)
1.951.991.999{\displaystyle \Rightarrow }2{\displaystyle \Leftarrow }2.0012.0102.10
Kesimpulannya:
Maka x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, oleh karena itu limit darif(x)}{\displaystyle f(x)} ialah 2.

Definisi formal tentang Limit

Definisi formal Limit didefinisikan  apabila {\displaystyle f} ialah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung sebuah titik {\displaystyle c} (dengan kemungkinan pengecualian pada titik {\displaystyle c}) dan {\displaystyle L} merupakan bilangan real,
maka: {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
Artinya bahwa untuk setiap {\displaystyle \varepsilon \ >0} didapati {\displaystyle \delta \ >0} yang untuk semua {\displaystyle x} di mana {\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }, maka berlaku {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }.

Limit Sebuah Fungsi pada Titik Tak Terhingga

Konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif ataupun negatif ialah konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka.  Ini bukanlah berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun artinya yaitu x menjadi sangat besar untuk tak terhingga atau sangat kecil untuk tak terhingga yang negatif.
Contohnya, lihatlah: {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}.
  1. f(100) = 1.9802
  2. f(1000) = 1.9980
  3. f(10000) = 1.9998
Yaitu semakin x bertambah besar, maka nilai f(x)nya mendekati 2. Dalam contoh diatas, dapat dikatakan bahwa:
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}
Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)